Question

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程

（2）求f(x)的单调区间（3）f(x)在【0，+无穷）上存在最大值和最小值，求a的取值范围

第二题能详解一下吗？

Answer 1

(1)f'(x)=(-2x^2+2)/(x^4+2x^2+1) f'(0)=2 切线方程y=2x
(2)f'(x)=[-2ax^2+(2-2a^2)x+2a]/(x^4+2x^2+1)
解一元二次方程得x=-a或1/a时 -2ax^2+(2-2a^2)x+2a=0 而 x^4+2x^2+1恒为正 故：
a＞0 （-无穷，-a）并（1/a,+无穷）为减 （-a，1/a） 为增
a＜0 （-无穷，1/a）并（-a,+无穷）为增 （1/a，-a） 为增
（3）a＜0

追问

第三题想不太明白，能解释一下吗，我觉得如果存在最大值就不存在最小值

Answer 2

f'(x)=[2a*(x^2+1)-(2ax+a^2-1)*2x]/(x^2+1)^2=-2(ax-1)(x+a)/(x^2+1)^2
1)a>0,x>1/a时，f'(x)<0,减函数
-a<x<1/a,f'(x)>0,增函数
x<-a,f'(x)<0,减函数
2)a=0,x>0,f'(x)>0,增函数
x<0,f'(x)<0,减函数
3）a<0,x>-a时，f'(x)>0,增函数
1/a<x<-a,f'(x)<0,减函数
x<1/a,f'(x)>0,增函数

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第三题想不太明白，能解释一下吗，我觉得如果存在最大值就不存在最小值

Answer 3

对f(x)进行求导，然後再对a进行讨论
f'(x) = 6ax²+(2a²-2)x+2a
当a=0时，f'(x) = -2x，那么单调减区间为(0,+无穷),单调增区间为(-无穷，0);
当a>0时，f'(x)开口向上，那么单调增区间为两根之外，单调减区间为两根之间
当a<0时，与上述相反
具体的计算一下，我就不赘述了。

追问

第三题想不太明白，能解释一下吗，我觉得如果存在最大值就不存在最小值