Question

导数求函数的单调性不懂 高中

某个区间 [ a , b ] 内，如果导数 f ‘（x）＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增

其中，X、Z∈ [ a , b ] 且 f ‘（X）＞0 且 f ‘（Z）＜0 ，那函数在[ a , b ]不就不具有单调性？
那么，这句话不就不成立吗？
如果这句话还成立，为什么？
谢谢

Answer 1

其中，X、Z∈ [ a , b ] 且 f ‘（X）＞0 且 f ‘（Z）＜0 ，那函数在[ a , b ]不就不具有单调性是对的。
导数大于0，说明在这个点的切线的斜率大于0，也就是有递增的趋势。导数小于0，说明在这个点的斜率小于0也就是有递减的趋势。在一个区间内，某个点有递增趋势，而另一点有递减趋势，则这个区间无单调性！

新年快乐！

追问

抱歉，表达能力不好。
如果我计算到
X∈ [ a , b ] ， f ‘（x）＞0
但是Z∈ [ a , b ] ， f ‘（Z）＜0 没有计算出来
那为什么我不能够直接下结论说函数在[ a , b ] 内具有单调性呢？
这个才是我想问的。

追答

不行，不能说你没有算出来就没有，你得证明f ‘（Z）＜0不存在才行
还有，你还得证明没有等于0的情况！
要证单调性，你可以把任意2个导数相乘，乘机恒大于0就可以了

新年快乐

Answer 2

1、某个区间 [ a , b ] 内，如果导数 f ‘（x）＞0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增
这句话要这样来理解：f ‘（x）＞0，这里的x是区间 [ a , b ] 任意一个数，不是特指的X
2、X、Z∈ [ a , b ] 且 f ‘（X）＞0 且 f ‘（Z）＜0 这个式子，对特殊的X，Z是可能同时成立的，但对任意的X、Z∈ [ a , b ] 是不可能同时成立的，
3、若把区间[ a , b ] 分成2部份[a,m] 与[m,b]那X∈ [ a , m ] 且 f ‘（X）＞0 是有可能成立，则f （X）在 [ a , m ] 是增函数，X∈ [ m , b ] 且 f ‘（Z）<0 是有可能成立，则f （X）在 [ m, b ] 是减函数。

追问

抱歉，表达能力不好。
如果我计算到
X∈ [ a , b ] ， f ‘（x）＞0
但是Z∈ [ a , b ] ， f ‘（Z）＜0 没有计算出来
那为什么我不能够直接下结论说函数在[ a , b ] 内具有单调性呢？
这个才是我想问的。

追答

如果我计算到X∈ [ a , b ] ， f ‘（x）＞0只要x是[a,b]任意的，可以下结论说函数在[ a , b ] 内具有单调性增加的
但是Z∈ [ a , b ] ， f ‘（Z）＜0 没有计算出来
说明如果不是单调减小，你当然也就算不出来，
是你算不出，还是本身就f ‘（Z）＜0不成立呢？这是2码事。再者X、Z∈ [ a , b ] 且 f ‘（X）＞0 且 f ‘（Z）＜0 这个式子。但对任意的X、Z∈ [ a , b ] 是不可能同时成立的

Answer 3

解：成立。
∵X、Z∈ [ a , b ] 且 f ‘（X）＞0
那么X邻近的一个点(a,f(a))
[f(a)-f (X)]/(a-X)＞0
若a>X
那么f(a)>f (X)
在这里会递增
同理f ‘（Z）＜0
在Z附近递减
∴[ a , b ]不就不具有单调性。

追问

抱歉，表达能力不好。
如果我计算到
X∈ [ a , b ] ， f ‘（x）＞0
但是Z∈ [ a , b ] ， f ‘（Z）＜0 没有计算出来
那为什么我不能够直接下结论说函数在[ a , b ] 内具有单调性呢？
这个才是我想问的。

追答

这只能说他在点X附近具有单调性，但是对整个定义域内，不一定。

Answer 4

1、先求出函数的导数f'(x)
2、分类讨论f'(x)
大于0还是小于0；大于0就在定义域内单调递增，小于0则单调递减（＊注意：题中定义域的范围）
去书上认认真真看看，会有的