Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0，1)，使f＇(ε)=-f(ε)/ε

Answer 1

证：
构造函数F(x)=xf(x)
F(0)=0·f(0)=0，F(1)=1·f(1)=1·0=0
F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
由罗尔中值定理，在(0，1)内，至少存在一点ξ，使得：
F'(ξ)=[F(1)-F(0)]/(1-0)=(0-0)/(1-0)=0
f(ξ)+ξf'(ξ)=0
f'(ξ)=-f(ξ)/ξ

追问

为什么得到F＇(ε)=0之后，就可以得出f(ε)+εf＇(ε)=0，这个我有点不懂，能解释一下吗？

追答

解题过程已经写得很明确了。

已经求出了F(x)的一阶导数，x=ξ时，就得到f(ξ)+ξf'(ξ)=0

请认真阅读解题过程。

追问

噢噢，知道了，谢谢

Answer 2

最简单的方法，构造特殊函数,f(x)=0,

Answer 3

证明：设g(x)=xf(x),
则g'(x)=xf'(x)+f(x)
,
g(1)=1f(1)=0
,
g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得：
存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε)
=(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε