Question

线性代数方程组通解的问题

设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩r(A)=3,a1=(1,2,3,4)T,a1+a2=(0,1,2,3)T 求Ax=b的通解

答案：
2a1-(a2+a3)=(a1-a2)+(a1-a3)=(2,3,4,5)T
所以Ax=b的通解为
x=(1,2,3,4,)T+k(2,3,4,5) K 为任意常数

Answer 1

非齐次方程组Ax=b的解是对应的齐次方程组Ax=0的解的一个陪集
A的秩是3，而ai是4维列向量，那么齐次方程组Ax=0解空间就是一维的
所以Ax=b通解不过就是a1+ka0，其中a1是一个特解，题中已经给出；a0是解空间的任意一个向量。
现在的问题是找这个a0，实际上最简单的办法是令a0=a1-a2，这样就把特解的因素消去了，只留下齐次解的那部分。
显然a0=a1-a2=2a1-(a1+a2)=(2,3,4,5)
就得到答案那个样子