Question

请教一道数学分析问题

设f（x）在【0,1】上单调递增，f（0）>0,f(1)<1,试证：存在x0属于（0,1），使得f（x0）=x0^2

Answer 1

因为f（0）>0且f（1）<1所以sup{x：x>0，任意y若y<x则f（y）>y^2}=a属于（0，1）现在因为f单增，所以对任意x若0<x<a，则f(a)>f(x)>x^2，所以f（a）>=a^2，若f（a）>a^2，不放假定f（a）=a^2+c，（c>0）。于是存在e>0使得（a+e）^2<a^2+c，现在有任意x，x属于[a，a+e）
则f（x）>f(a)=a^2+c>(a+e)^2>x^2，与a的取法矛盾，故有f（a）=a^2

Answer 2

设g（x）=f（x）-x^2

因为f（0）>0^2 f(1)<1^2
即g（0）>0 g(1)<0
又g（x）为连续函数
所以g（x）在【0,1】上有零点
即存在x0属于（0,1），使得f（x0）=x0^2

追问

题目没说f（x）是连续函数啊，无法得出g（x）连续

追答

单调递增就说明是连续函数

追问

取整函数f(x)=[x]就是单调递增的，可它并不连续

追答

看评论 题目没想这么多 真的 我保证

Answer 3

f（x0）=x0^2? "^"是什么意思？