Question

已知椭圆的C两个焦点分别为F1（0，-1），F2（0，1），离心率e= 1 2 ，P是椭圆C在第一象限内的一点

且|PF1|-|PF2|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q是椭圆C上不同于P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F2？若存在，求出圆G的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

由给定的椭圆焦点坐标可知：c＝1，e＝c/a＝1/2，∴a＝2，∴b＝√（a^2－c^2）＝√3，
∴椭圆的方程是：x^2/3＋y^2/4＝1。
∴可设点P的坐标为（√3cosα，2sinα）。　∵P在第一象限，∴sinα＞0，cosα＞0。

依题意，有：｜PF1｜－｜PF2｜＝1，
∴√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］－√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1，
∴1＋√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］。

两边平方，得：
1＋2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＋（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2
＝（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2，
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝（2sinα＋1）^2－（2sinα－1）^2－1，
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－8sinα。

两边再平方，得：
4［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴4［3（cosα）^2＋4（sinα）^2－4sinα＋1］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴4［4＋（sinα）^2－4sinα］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴16＋4（sinα）^2－16sinα＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴60（sinα）^2＝15，　∴（sinα）^2＝1/4，　∴sinα＝1/2，　∴cosα＝√3/2，
∴√3cosα＝3/2，　2sinα＝1，　∴点P的坐标是（3/2，1）。

第二个问题：
由F2（0，1）、P（3/2，1）可知：PF2∥x轴。
∵F2在以PQ为直径的圆上，　∴PF2⊥QF2，　∴Q在y轴上。
令x^2/3＋y^2/4＝1中的x＝0，得：y＝±2，　∴点Q的坐标是（0，2）或（0，－2）。

一、当Q的坐标为（0，2）时，
　　由中点坐标公式，得：G的坐标为（3/4，3/2）。
又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（3/2－2）^2＝9/16＋4/16＝13/16。
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16。

二、当Q的坐标为（0，－2）时，
　　由中点坐标公式，得：G的坐标为（3/4，－1/2）。
　　又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（－1/2－2）^2＝9/16＋100/16＝109/16。
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16。

即：满足条件的⊙G的方程是：
（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16；　或（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16。