Question

数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=3an +1,n属于正整数,求数列{an}的通项公式及a2+a3+...+an的值

Answer 1

解：
因为sn=3a(n+1)
所以s(n-1)=3an
当n>=2时有an=sn-s(n-1)=3a(n+1)-3an
即3a(n+1)=4an
a(n+1)=（4/3）an
数列是以1为首项，4/3为公比的等比数列
an=(4/3)^(n-1)
当n=1时适合an=(4/3)^(n-1)
所以通项公式为：an=(4/3)^(n-1)
a2+a3+....+an=4/3+（4/3)^2+.......+(4/3)^(n-1)
=1+4/3+（4/3)^2+.......+(4/3)^(n-1) -1
=[(4/3)^n-1]/(4/3-1)-1
=3[(4/3)^n-1]-1=3(4/3)^n+2

Answer 2

(1)a1=1，sn=3an+1
a1=s1=3a1+1 2a1=-1 a1=-2≠1
∴数列是分段数列
s(n-1)=3a(n-1)+1
an=sn-s(n-1)=(3an+1)-[3a(n-1)+1]=3an-3a(n-1)
2an=3a(n-1)
an=3/2a(n-1)
数列是以1为首项，3/2为公比的等比数列
通项公式为：
an=1 (n=1)
an=(3/2)^(n-1) (n>1)

(2)
a2+a3+...an=(3/2)*[(3/2)^(n-1)-1]/(3/2-1)=3*[(3/2)^(n-1)-1]

追问

题目是： Sn=3a(n+1)

追答

sn=3a(n+1)
s(n-1)=3an
an=sn-s(n-1)=3a(n+1)-3an=
3a(n+1)=4an
a(n+1)=4/3an
数列是以1为首项，4/3为公比的等比数列
通项公式为：
an=(4/3)^(n-1)

a2+a3+....+an=a2*(q^(n-1)-1)/(q-1)=4/3*((4/3)^(n-1)-1)/(4/3-1)=4*((4/3)^(n-1)-1)

Answer 3

Sn=3An+1 (1)
S(n-1)=3A(n-1)+1 (2)
(1)-(2)得
An=3An-3A(n-1) -> 3A(n-1)=2An -> An/A(n-1)=3/2
故{An}是首项1，公比为3/2的等比数列
所以An=(3/2)^(n-1)
A2+A3+...+An=Sn-A1=3An+1-A1=3An=3*(3/2)^(n-1)=3^n/2^(n-1)