Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD，过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，

连接EG、AF。（1）求EG的长（2）求证：CF=AB+AF

Answer 1

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ，
∵CE⊥BE，点G为BC的中点，
∴EG=1 2 BC= 2 ．
答：EG的长是 2 ．
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．

Answer 2

EG=BG=CG=根号2