Question

已知函数f(x)=ax平方+1(a大于0),g(x)=x三次方+bx.

1.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的焦点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值。
2.当a平方=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间。

Answer 1

1.因为(1,c)为交点，从而 f(1)=g(1)，
即 a+1=1+b，a=b
又 f'(x)=2ax，g'(x)=3x²+b
因为f(x)、g(x)在(1,c)处有相同的切线，
从而 f'(1)=g'(1)，即 2a=3+b
从而 解得 a=b=3
2.a²=4b，F(x)=f(x)+g(x)=x³+ax²+a²x/4 +1
F‘(x)=3x²+2ax +a²/4=(2x+a)(6x+a)/4
因为a>0，令 F'(x)>0，解得 x>-a/6或x<-a/2
即增区间为(-∞,-a/2)和(-a/6,+∞)，
同理，减区间为(-a/2,-a/6).