Question

设数列{an}满足a1=2，an+1一an=3·2^n一1 (1) 求数列{an}的通项公式 (2

设数列{an}满足a1=2，an+1一an=3·2^n一1

(1) 求数列{an}的通项公式
(2) 令bn=n·an，求bn前n项和Sn的通项公式

Answer 1

1，根据题意可知，
an-an-1=3*2^(n-1)-1
........
a2-a1=3*2^1-1
相加an-a1=3*(2^(n-1)+2^(n-2)+.....+2^1)-n即an=3*2^n-n
2,bn=n*(3*2^n-n)=3n*2^n-n^2
1）设f(n)=∑n·2^n

则f(n)-2f(n-1)=2^n+2^(n-1)+……+2^2+2=2^(n+1)-2
即[f(n)-2]-2[f(n-1)-2]=2^(n+1)
即[f(n)-2]/2^n-[f(n-1)-2]/2^(n-1)=2
设g(n)=[f(n)-2]/2^n,则g(n)-g(n-1)=2
则g(n)=g(1)+2(n-1)=2(n-1)
则f(n)=(n-1)·2^(n+1)+2
则∑3n*2^n=3∑n·2^n=3*f(n)
2）an=n^2 (用立方差公式构造，叠加）

∵ (n+1)^3-n^3
=(n+1-n)[(n+1)^2+(n+1)n+n^2] (立方差公式）
=3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
.........................................
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上面n个等式两边相加：
（n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
n(n^2+3n+3)=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(n+1)n/2+n
∴3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)
=n(n^2+3n+3)-3(n+1)n/2-n
=n/2[(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2]
=n/2(2n^2 +3n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
∴1^2+2^2+3^2+..........+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6
所以Sn=3((n-1)·2^(n+1)+2)+n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

An=(An-An-1)+(An-1-An-2)+(An-2-An-3) + .... +a2-a1 + a1
=3*2^(n-1) -1 + 3*2^(n-2)-1 + ... + 3*2-1 + 2
=3*(2^(n-1)+2^(n-2)+...+2) - (n-1) + 2
=3* 2*(1-2^(n-1))/(1-2) -(n-1)+2
=6*2^(n-1) -n -3
=3*2^n -n -3　（补充一下，忘了2^-1可以化简了。)
这是通用方法，请掌握。
(2)Bn=nAn,这个好像就不难了，自己做如何？

Answer 3

解：数列{an}满足a1=2，an+1一an=3·2^n一1
则 n＞1时，an一an-1=3·2^(n-1)一1
an-1一an-2=3·2^(n-2)一1
… …
a3一a2=3·2²一1
a2一a1=3·2一1
a1=2=3*1一1

这n个等式相加，得 an=3*[2^(n-1)+2^(n-2)+…+2²+2+1]-n
=3*2^n-(n+3) [等比数列求和]
n=1时，也适合，所以数列{an}的通项公式为an=3*2^n-(n+3)
解：bn=n*an=3n*2^n-n²-3n，前n项和Sn=b1+b2+…+bn
设{3n*2^n}的前n项和为An，{-n²-3n}前n项和为Bn，Sn=An+Bn
An=3*2+6*2²+9*2³+…+3n*2^n
2An= 3*2²+6*2³+…+3(n-1)*2^n+3n*2^(n+1)
两式相减，得 An=-3*2-3*2²-3*2³-…-3*2^n+3n*2^(n+1)=3(n-1)*2^(n+1)+6
Bn=-(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+…+n)=-(n+1)(2n+1)n/6-3n(n+1)/2=-n(n+1)(n+5)/3
Sn=3(n-1)*2^(n+1)+6-n(n+1)(n+5)/3