Question

已知函数f(x)=x^2-mx+m-1，是否存在整数a，b（其中a，b是常数，且a<b),使得关于x的不等式a≤f(x)≤b的解集

已知函数f(x)=x^2-mx+m-1，是否存在整数a，b（其中a，b是常数，且a<b),使得关于x的不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由
麻烦给出详细过程。

Answer 1

提问者采纳的答案错误。正确解答如下：
据题意有f(a)＝a，f(b)＝b，即
a^2－ma＋m－1＝a，b^2－mb＋m－1＝b，
a^2－（m＋1）a＋m－1＝0，b^2－（m＋1）b＋m－1＝0。
∵a＜b，∴a＝［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2，b＝［m＋1＋√（m^2－2m＋5）］／2。
∵抛物线f(x)＝x^2－mx＋m－1开口向上，对称轴为x＝m／2，f(x)在［a，b］区间单调递增，
∴a≥m／2，即［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2≥m／2，解得m＝2。
将m＝2代入a＝［m＋1－√（m^2－2m＋5）］／2和b＝［m＋1＋√（m^2－2m＋5）］／2，
得a＝1，b＝2。
∴存在整数a＝1，b＝2，使得不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}。

Answer 2

x^2-mx+m-1
=(x-m/2)^2+m-1-(m/2)^2
=(x-m/2)^2-(m/2-1)^2
=(x-1)(x-m+1)
a≤f(x)≤b
a≤x≤b存在
f(x)=0
x=1 x=m+1
m>=0
a=1 b=m+1
m<0
a=m+1 b=1

Answer 3

①-（m-2)^2/4=a,b^2-bm m-1=b，无解
②a^2-am m-1=a,b^2-bm m-1=b，存在
③a^2-am m-1=b,b^2-bm m-1=a，存在