Question

如图四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，G是AB的中点，CG与DE相交于点F 则∠BFE= ,若EF=2，则BF= .

Answer 1

解：作BH⊥CG于点H

∵四边形ABCD是正方形，E、G分别是BC、AB的中点

∴BG=CE，BC=CD，∠CBG=∠DCB

∴△BCG≌△CDE

∴∠1=∠2

∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°

∴DE⊥CG

即∠CFD=∠BHC=90°

∴△BHC≌△CFD

∴BH=CF

∵tan∠1=BH/CH=BG/BC=1/2

∴BH=CF=FH

∴∠BFE=45°

（2）

∵E是BC的中点，BH⊥CH，EF⊥CH

∴EF是△CBH的中位线

∵EF=2

∴BH=4

∵∠EFH=90°，∠BFE=45°

∴△BHF是等腰直角三角形

∴BF=4√2

Answer 2

解：作BH⊥DE于点H,则△BHE≌△CFE

        ∴HE=FE

  又∵△BCG∽△FEC

   ∴BC=2BG

  ∴CF=2EF

    ∴BH=FH

    ∴∠BFE=45°

若EF=2，则BF=√（4²+4²）=4√2

Answer 3

（1）证BCG≌△ECD，得∠EFC=90°,再得B.E.F.G四点共圆，有∠BFE=∠BGE=45°。
（2）由△CEF∽△CGB，得EF/BG=CE/CG=(BC/2)/(√5BC/2)=1/√5,得BG=2√5，
过F作 FH⊥BC于点H，由△EFH∽△EDC，算出FH=4/√5，EH=2/√5，得BH=12/√5，所以BF=√(BH²+FH²)=4√2。

Answer 4

解：如图，连接EG.由题设易证ΔCGB≌ΔDEC，故∠DEC=∠CGB=90°-∠GCB，得∠GFE=90°.又∠ABC=90°，故B,E,F,G四点共圆，从而∠BFH=∠GEB=45°，∠BFE=90°-∠BFH=45°.

过B作BH⊥CG于H，则ΔBHF是等腰直角三角形.由∠ECF=∠GCB，∠CFE=∠CBG=90°，得ΔCFE∽ΔCBG，故CF/EF=CB/BG=2，CF=2EF=4.又EF⊥CG，BH⊥CG，故EF∥BH，又CE=EB，故FH=CF=4，故BF=√2FH=4√2.

Answer 5

BFE=30度，BF=3