Question

10.设二次函数f(x)=ax^2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则（1/c）+（9/a）的最小值为

Answer 1

由值域有(4ac-4^2)/(4a)=0解出ac=4，所以9ac=36
换一下位置就是a*9c=36
由值域结合图像得到a＞0，c＞0
将9c视为m，显然m＞0
am=36推出a+m≥2根号（am）=2*6=12
所以a+m=a+9c≥12
而（1/c）+（9/a）=（a+9c）/(ac)=(a+9c)/4所以得到最小值为3

Answer 2

二次函数f(x)=ax²-4x+c的值域为[0,+∞)
f(x)=a(x-2/a)²+c-4/a
a>0 c-4/a≥0
ac≥4 且c>0
1/c+9/a≥2√(1/c*9/a)=2√(9/ac)≥2√(9/4)=3
故（1/c）+（9/a）的最小值为3