数学难题。
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重心到三顶点距离平方和最小
下面证明这个性质.在直角坐标系中,设点P(x,y)到A,B,C的距离平方和最小,然后证明 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3
证：
|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2+(x-x3)^2+(y-y3)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+(x1^2+x2^2+x3^2)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+(y1^2+y2^2+y3^2)
因x1,x2,x3,y1,y2,y3为定值,故上式最小时,必须3x^2-2x(x1+x2+x3)最小,而且3y^2-2y(y1+y2+y3)也最小,
易知必须x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3.即证,即P为重心
下面证明这个性质.在直角坐标系中,设点P(x,y)到A,B,C的距离平方和最小,然后证明 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3
证：
|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2+(x-x3)^2+(y-y3)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+(x1^2+x2^2+x3^2)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+(y1^2+y2^2+y3^2)
因x1,x2,x3,y1,y2,y3为定值,故上式最小时,必须3x^2-2x(x1+x2+x3)最小,而且3y^2-2y(y1+y2+y3)也最小,
易知必须x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3.即证,即P为重心
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