Question

一道不定积分 一道极限题，可以告诉我详细的解题步骤嘛？

Answer 1

3.分项积

∫sinxcosx dx
=∫sinx d(sinx)
=(sinx)^2/2 +C

∫lnx/2x^2 dx
分部
=(-1/2)∫lnx d(1/x)
=(-1/2)[lnx/x-∫(1/x)*(lnx)'dx]
=(-1/2)[lnx/x-∫(1/x^2)dx]
=(-1/2)[lnx/x+1/x]
=-(lnx+1)/(2x)+C

∫(4x+2)e^(x^2+x)dx
还元t=x^2+x
dt=(2x+1) dx
原式
=2∫e^t dt
=2e^t+C
=2e^(x^2+x)+C

加起来就好了

4.
此处看低阶项分子括号里sin(1/x)~1/x
1/x^2是二阶小量可以直接忽略
所以分子~x^2*1/x~x
分母e^(-x^2)->0,-1<=sin(x^4)<=1
所以分母~x
所以极限应该为1
下用极限定义证明极限是1
先做变量代换，不喜欢无穷大==
t=1/x,x=1/t,t->0
原式变为
f(t)
=(1/t^2)[sin(t)-t^2]/[e^(-1/t^2)+1/t+sin(1/t^4)]
=[sin(t)/t^2-1]/[e^(-1/t^2)+1/t+sin(1/t^4)]
=[sint -t^2]/[t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)]

对于任意ε>0,取δ=min{1/3,ε/18,δ0}
只要|t-0|<δ即有

|f(t)-1|=|sint-t-t^2(1+e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))|/|t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)|
先看分子
0<e^(-1/t^2)<1

-1<sin(1/t^4)<1

所以
0<1+e^(-1/t^2)+sin(1/t^4)<3

再看分母
取t足够小,使得t^2<(1/3)|t|
显然只需|t|<1/3
那么t^2e^(-1/t^2)+t^2sin(1/t^4)
=t^2(e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))
而-1<e^(-1/t^2)+sin(1/t^4)<2
则|t^2(e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))|<2t^2
|t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)|>=|t|-|t^2(e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))|>=|t|-2t^2>|t|-2*|t|/3=|t|/3

另外可以知道
lim t->0 sint-t=0
所以可以取δ0>0
有当|t-0|<δ0时
可以有|sint-t|<ε/18

|f(t)-1|
=|sint-t-t^2(1+e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))|/|t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)|

<=|sint-t|/|t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)|+|t^2(1+e^(-1/t^2)+sin(1/t^4))|/|t^2e^(-1/t^2)+t+t^2sin(1/t^4)|
<=|sint-t|/(|t|/3)+3t^2/(|t|/3)
<=|sint-t|/(|t|/3)+9t^2/(|t|)
<9ε/18+9ε/18
=ε
由极限定义可知
lim t->0 f(t)=1

Answer 2

第一题分部积分
第二题分子为x-1，分母第一项为0，第二项为x，第三项有边界，所以整体为1

Answer 3

这个。。。这两道题都很奇怪呀。。。你确定第一道积分题后面那块没抄错吗？那个e的几次方跟前面的（4x+2）是乘积关系还是乘方关系？如果是乘方关系就实在做不出来了。。。第二道题应该是1，你再做做吧，看看能做出来不~