Question

数学分析 不等式证明 题目如图

Answer 1

设f(x)=y·x^y·(1-x)，(y看作参数)
则
f'(x)=y²·x^(y-1)·(1-x)-y·x^y
=y·x^(y-1)·[y(1-x)-x]

令f'(x)=0
解得，x=y/(y+1)

容易验证，
f[y/(y+1)]是f(x)的极大值，也是最大值。

∴f(x)≤f[y/(y+1)]=[y/(y+1)]^(y+1)

设g(y)=[y/(y+1)]^(y+1)
lng=(y+1)·[lny-ln(y+1)]
1/g·g'=[lny-ln(y+1)]+(y+1)·[1/y-1/(y+1)]
=[lny-ln(y+1)]+1/y
=1/y-ln(1+1/y)
＞0
【根据基本结论：
x＞0时，x＞ln(1+x)】
∴g'(y)＞0
∴g(y)单调递增。

∴g(y)＜lim(y→+∞)g(y)
=lim(y→+∞)[1-1/(y+1)]^(y+1)
=e^(-1)

不等式得证。

追问

多谢大神！！！！！！