Question

数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=5 an+1-4an(1)证明数列an+1-an是等比数列（2）求数列an的通项公式

数列{an}中,已知a1=1,a2=5,a（n+2）= 5a（n+1） -4an (1)证明数列an+1-an是等比数列（2）求数列an的通项公式急求！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

a（n+2）—5a(n+1)+4an=0
a(n+2)-a(n+1)-4a(n+1)+4an=0
a(n+2)-a(n+1)=4a(n+1)-4an=4[a(n+1)-an]
所以[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=4

a(n+1)-a(n)构成一个首项为4，公比为4的等比数列.
a(n+1)-an=4*4^(n-1)=4^n
…… ……
a2-a1=4^1
左右累加
a(n+ 1)-a1=[4^(n)+4^(n-2)+……+4^1]=4(4^n-1)/(4-1)=4/3*(4^n-1)
a(n+1)=4/3*(4^n-1)+a1=4/3*4^n-1/3
an的表达式
a(n)=4/3*4^(n-1)-1/3

Answer 2

a（n+2）= 5a（n+1） -4an,有a(n+2)-a(n+1)=4[a（n+1） -an],
把an+1-an看成一个数列的话，这就是一个等比数列，首项为a2-a1=4,公比为4.
a(n+1)-an=4^n,4a(n+1)/4^(n+1)-an/4^n=1,
4[a(n+1)/4^(n+1)-1/3]=an/4^n-1/3,
将an/4^n-1/3看作一个数列的话，这就是一个等比数列，公比为1/4,首项a1/4-1/3=-1/12,
an/4^n-1/3=-1/12*4^(n-1),
an=(4^n-1)/3