Question

若四次方程a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0有四个不同的实根,证明4a0x^3+3a1x^2+a2x+a3=0

这是中值定理的问题,证明4a0x^3+3a1x^2+a2x+a3=0的所有根皆为实根

Answer 1

四次方程a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4=0有四个不同的实根
不妨设这四个根依次为x_1<x_2<x_3<x_4
令f（x）=a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4
那么根据roll定理存在x’属于（x_1，x_2），满足f ‘（x ‘）=0
同理存在x " 属于（x_2，x_3），x ’‘’属于（x_3，x_4），满足f ‘（x ”）=0，f ‘（x ’‘’）=0
又因为f ’（x）=4a0x^3+3a1x^2+a2x+a3
所以方程4a0x^3+3a1x^2+a2x+a3=0有三个不同的实数根

Answer 2

f(x)=a0x^4+a1x^3+a2x^2+a3x+a4, 其4个不同实根为x1<x2<x3<x4
由罗尔定理，两相邻实根之间必有一数p, 使得f'(p)=0
而f'(x)=4a0x^3+3a1x^2+2a2x+a3,
因此f'(x)=0有三个不同实根。分别位于(x1,x2), (x2,x3), (x3,x4)之间。