Question

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
（(2)能否给出一个解释虽然题目不要求，但我不懂，拜托啦）

Answer 1

解：

分析：（1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．

解答：解：（1）图1做BF⊥EC于F 图2做BH⊥EC于H
①结论：BD=CE，BD⊥CE；
②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分
在△ABD与△ACE中，
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE…2分
∴BD=CE…1分
延长BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE…3分

（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

追问

为什么？能否给出一个解释虽然题目不要求，但我不懂，拜托啦。
结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°

Answer 2

一
　　①、BD＝CE
　　②、∵∠BAC=∠DAE
　　∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
　　∴∠BAD＝∠CAE
　　∵AD＝AE，AB＝AC

　　∴△BAD≌△CAE
　　　　∴BD＝CE
二
只要满足条件甲，就能使BD＝CE。
　　理由第一题的第二小题的证明过程中，只用到了
　　AD＝AE，AB＝AC，既AB：AC=AD：AE=1

　　和∠BAC=∠DAE，并没有用到它们都等于90°。

学习愉快！

Answer 3

①、BD＝CE
　　②、∵∠BAC=∠DAE
　　∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
　　∴∠BAD＝∠CAE
　　∵AD＝AE，AB＝AC

　　∴△BAD≌△CAE
　　　　∴BD＝CE
二
只要满足条件甲，就能使BD＝CE。
　　理由第一题的第二小题的证明过程中，只用到了
　　AD＝AE，AB＝AC，既AB：AC=AD：AE=1

　　和∠BAC=∠DAE，并没有用到它们都等于90°。

学习愉快！