Question

已知tan²β=2tan²α+1，求证cos2β+sin²α=0

Answer 1

证明：∵tanβ^2=2tanα^2+1
∴sinβ^2/cosβ^2=2(sinα^2/cosα^2)+1
sinβ^2cosα^2=2sinα^2cosβ^2+cosα^2cosβ^2
2sinα^2cosβ^2+cosα^2cosβ^2-sinβ^2cosα^2=0
2cosβ^2-2cosα^2cosβ^2+cosα^2cosβ^2-sinβ^2cosα^2=0
2cosβ^2-cosα^2cosβ^2-sinβ^2cosα^2=0
2cosβ^2-cosα^2(cosβ^2+sinβ^2)=0
2cosβ^2-cosα^2=0
2cosβ^2-(1-sinα^2)=0
sinα^2+(2cosβ^2-1)=-0
又∵cos2β=cosβ^2-sinβ^2
=2cosβ^2-1
∴sinα^2+cos2β=0
∴cos2β+sinα^2=0

Answer 2

cos2β+sin²α=0等价于cos²β-sin²β+sin²α=0 （*）
cos²β-sin²β=（1-tan^2β）/（1+tan^2β）
故（*）推出1+sin^2α+tan^2β（sin^2α-1）=0
即2sin^2α+cos^2α=tan^2βcos^2α
同除cos^2α，得tan²β=2tan²α+1
得证

Answer 3

cos2β=(1-tan²β)/(1+tan²β)=(-2tan²α)/(2tan²α+2)=(-tan²α)/(tan²α+1)= -tan²αcos²α= -sin²α,即cos2β+sin²α=0.