Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC= 1 2 AB=1． ①求证：D1E∥平面ACB1

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Answer 1

解：（I）证明：连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，
所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．
又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，
所以D1E∥AB1．
因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，
所以D1E∥平面ACB1．

追问

②求证：平面D1B1E⊥平面DCB1；
③求四面体D1B1AC的体积．

追答

（II）证明：连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．

因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，

所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，

所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，

所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．