Question

椭圆G：x²/a²+y²/b²=1的离心率为根号6/3右焦点为F2(2根号2,0)交A，B

两点以AB为底边斜率为1的直线l与椭圆G做等腰三角形顶点为P（-3,2）。（1）求椭圆G的方程 (2)求三角形PAB的面积

Answer 1

x²/a²+y²/b²=1
c/a=e=√6/3,c=2√2,可以得出a=2√3,b=2
方程为x²/12+y²/4=1
假设方程为y=x+m与椭圆联立，得到4x²+6mx+3m²-12=0,所以AB的中点横坐标为-3m/4,带入直线，求的纵坐标为m/4，由AB中点坐标及P点坐标，求出AB中垂线的斜率关系式，用m表示，为-1，所以m=2
然后求出AB=3√2,中垂线断长度为3√2/2.面积为9/2

Answer 2

(1) c=√2, e=c/a=√2/a=√6/3 , a=√3 ,a²=3 b²=a²-c²=3-2=1
椭圆G的方程:x²/3+y²=1
(2) L:AB :y=x+k x²/3+ x²+2kx+k²-1=0,x=-k±1 ,y1=1,y2=-1,A(-k+1,1),B(-k-1,-1)
P（-3,2）,PA=PB (-k+1+3)²+(1-2)²=(k+1+3)²+(-1-2)²,k=-1/2
y=x-1/2, x-y-1/2=0, A(3/2,1),B(-1/2,-1), AB=√(2)²+(2)²=2√2
d=|-3-2-1/2|/√2=11/2√2=11√2/4.
S△PAB=1/2AB*d=1/2*2√2*11√2/4.=11/2