已知：抛物线y^2=2px,（p>0)
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
这个结果想证明的话,令y=p*sht,从而
(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht ,dy=p*cht*dt
代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
注意到：y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p,sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2
扩展资料：
平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（该线）。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。
对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。
开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
参考资料来源：百度百科--抛物线
已知：抛物线y^2=2px,（p>0)
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
这个结果想证明的话,令y=p*sht,从而
(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht ,dy=p*cht*dt
代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
注意到：y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p,sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2
扩展资料
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。
垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直肠直肠”是抛物线的平行线，并通过焦点。
抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。
抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
y'=dy/dx=p/y, dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx。
对于曲线上的任一点M(x,y)来说，从顶点到M点的弧长为对ds进行积分，即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
这个结果想证明的话，令y=p*sht，从而
(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht , dy=p*cht*dt
代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
注意到： y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p, sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2
