求解,详细过程。
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=3∫∫(D)dxdy,后面的积分就是椭圆的面积=πab=2π
原式=6π
原式=6π
追问
那个。能用极坐标法演示下吗
追答
椭圆用极坐标不方便,可以用参数方程:
x=rcosθ,y=rsinθ
r²cos²θ/4+r²sin²θ=1
r²=4/(cos²θ+4sin²θ)=4/(1+3sin²θ)
r≤2/√(1+3sin²θ)
取dθ扇形为微面积
dS=r²dθ/2
=2/(1+3sin²θ)dθ
积1/4,0~π/2
原式=12∫(0,π/2)[2/(1+3sin²θ)]dθ
=12∫(0,π/2)[2(cos²θ+sin²θ)/(cos²θ+4sin²θ)]dθ
=24∫(0,π/2)[(1+tan²θ)/(1+4tan²θ)]dθ
设t=tanθ,θ=arctant,dθ=dt/(1+t²),t=0~+∞
原式=24∫(0,+∞)[(1+t²)/(1+4t²)]dt/(1+t²)
=12∫(0,+∞)[1/(1+(2t)²)]d2t
=12∫(0,+∞)darctan2t
=12arctan2t|(0,+∞)
=12(π/2-0)
=6π
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