Question

求解，详细过程。

Answer 1

如果没有变量，∫∫dxdy代表的就是D的面积
而椭圆的面积公式S=πab
题目中a=2，b=1
S=πab=2π
所以原式=3×2π=6π

追问

那个。能用极坐标法演示下吗

追答

极坐标
设x=2rcost， y=rsint ，0≤t≤2π
所以r²≤1， r≤1
∫∫dxdy
=∫[0→2π] dt ∫[0→1] 2rdr
=∫[0→2π] dt r²[0→1]
=∫[0→2π] dt
=2π

追问

为什么是2r嘞

怎么从1变2的

追答

因为x=2cost,y=sint
经过雅克比行列式变换
dxdy=2rdr

不清楚的可以翻下书

看下dxdy和rdrdθ直接的变换关系

追问

好的

Answer 2

=3∫∫（D）dxdy，后面的积分就是椭圆的面积=πab=2π
原式=6π

追问

那个。能用极坐标法演示下吗

追答

椭圆用极坐标不方便，可以用参数方程：
x=rcosθ，y=rsinθ
r²cos²θ/4+r²sin²θ=1
r²=4/（cos²θ+4sin²θ）=4/（1+3sin²θ）
r≤2/√（1+3sin²θ）
取dθ扇形为微面积
dS=r²dθ/2
=2/（1+3sin²θ）dθ
积1/4,0~π/2

原式=12∫（0，π/2）[2/（1+3sin²θ）]dθ
=12∫（0，π/2）[2（cos²θ+sin²θ）/（cos²θ+4sin²θ）]dθ
=24∫（0，π/2）[（1+tan²θ）/（1+4tan²θ）]dθ
设t=tanθ，θ=arctant，dθ=dt/（1+t²），t=0~+∞
原式=24∫（0，+∞）[（1+t²）/（1+4t²）]dt/（1+t²）
=12∫（0，+∞）[1/（1+（2t）²）]d2t
=12∫（0，+∞）darctan2t
=12arctan2t|（0，+∞）
=12（π/2-0）
=6π