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由题设,得a(n+2)-a(n+1)≤a(n+1)-a(n).
又a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
又a(10)-a(1)=a(10)-a(9)+···+a(2)-a(1)≥9[a(10)-a(9)]②
由①②得[a(20)-a(10)]/10≤a(11)-a(10)③
[a(1)-a(10)]/9≤a(9)-a(10)④
③+④得
[a(20)-a(10)]/10+[a(1)-a(10)]/9≤a(9)+a(11)-2a(10)≤0
解得a(10)≥28.故a(10)的最小值为28.
又a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
又a(10)-a(1)=a(10)-a(9)+···+a(2)-a(1)≥9[a(10)-a(9)]②
由①②得[a(20)-a(10)]/10≤a(11)-a(10)③
[a(1)-a(10)]/9≤a(9)-a(10)④
③+④得
[a(20)-a(10)]/10+[a(1)-a(10)]/9≤a(9)+a(11)-2a(10)≤0
解得a(10)≥28.故a(10)的最小值为28.
更多追问追答
追问
a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10)≤10[a(11)-a(10)]①
这里后面的 a(20)-a(19)+···+a(11)-a(10) 是怎么得出来的?我不太懂,求解
追答
就是裂项,我可能没写清楚,就是a(20)-a(10)=a(20)-a(19)+a(19)-a(18)+a(18)-a(17)+a(17)-a(16)+a(16)-a(15)+a(15)-a(14)+a(14)-a(13)+a(13)-a(12)+a(12)-a(11)+a(11)-a(10)
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记点A1(1,1),A2(2,a2),A3(3,a3),…,A19(19,a19),A20(20,58),
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2,可证明点A2,A3,…,A19均不可能在直线l的右下方区域.
而当点A2,A3,…,A19均在直线l上时,数列{an}构成等差数列,显然有an+2+an2=an+1,当然满足an+2+an2≤an+1,易得公差为3,a10=28,由于点A10不可能在直线l的右下方区域,所以a10≥3×10-2=28,所以a10的最小值为28.
故答案为:28.
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2,可证明点A2,A3,…,A19均不可能在直线l的右下方区域.
而当点A2,A3,…,A19均在直线l上时,数列{an}构成等差数列,显然有an+2+an2=an+1,当然满足an+2+an2≤an+1,易得公差为3,a10=28,由于点A10不可能在直线l的右下方区域,所以a10≥3×10-2=28,所以a10的最小值为28.
故答案为:28.
参考资料: http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/c001803b-adfd-4d91-9490-2b28cf055cac?confirm=0
来自:求助得到的回答
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1.可以讨论a1和a2之间的大小关系,如果a2小于等于a1,由条件可以推出a3小于等于a2(这里的证明可以利用a3+a1<=2a2<=a2+a1得到);同理,可以继续推出a4小于等于a3...即数列为单调递减数列,与a20=58矛盾。所以a2应大于a1,同理继续推出数列为严格单调递增数列
2.补充定义a0=-2,由条件不难推出2a10>=a20+a0=56,所以a10最小值为28(这步不知道清不清楚),然后验证一下是否能取到这个最小值(想办法构造a2到a19即可)
3.至于a0是如何构造出来的,可以这么想:从条件来看,这个数列每相邻两项的差是递减或不变的,那么要使a10最小,那么从第一个差开始就要尽可能小;从1开始试,显然a20不可能为58,试到差为3且为等差时恰好满足a20=58,所以构造a0为-2。(这么说清楚吗?当然a2-a1完全可以比3大,而后面的相邻差就要做相应的调整,使之满足相邻差不变或递减且a20=58)
2.补充定义a0=-2,由条件不难推出2a10>=a20+a0=56,所以a10最小值为28(这步不知道清不清楚),然后验证一下是否能取到这个最小值(想办法构造a2到a19即可)
3.至于a0是如何构造出来的,可以这么想:从条件来看,这个数列每相邻两项的差是递减或不变的,那么要使a10最小,那么从第一个差开始就要尽可能小;从1开始试,显然a20不可能为58,试到差为3且为等差时恰好满足a20=58,所以构造a0为-2。(这么说清楚吗?当然a2-a1完全可以比3大,而后面的相邻差就要做相应的调整,使之满足相邻差不变或递减且a20=58)
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2013-02-11
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因为(an+2+an)/2≥an+1,
所以
(an+2)-(an+1)≥(an+1)-an 等于的时候为等差数列
又因为a1=1,a20=58,
所以d=(a20-a1)/19=3
所以a10最小=28
所以
(an+2)-(an+1)≥(an+1)-an 等于的时候为等差数列
又因为a1=1,a20=58,
所以d=(a20-a1)/19=3
所以a10最小=28
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