Question

第19题求详解，

Answer 1

郭敦顒回答：
∵PO⊥平面ABCD，点O在ABH上，EA∥PO，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO=2，EA=AO=（1/2）CD=1，
（1）求证PE⊥平面PBC
在平面PBC上作PG∥BC，GC∥PB，相交于G，则PGCB为矩形，
∵PO⊥平面ABCD，∴EA⊥平面ABCD，∴平面PEAB⊥平面ABCD，
∴CB⊥PB，
在Rt⊿POB中，PO=BO=2，∴PB=√8=2√2，
作EF⊥PO于F，则AO=AE=EF=PF=1，PE=√2
在Rt⊿ABE中，AB=1+2=3，∴BE=√（1+9）=√10
在△PEB中，BE=√10， PE=√2， PB=√8，∴BE²=PE²+PB²
∴△PEB为直角△，∴PE⊥PB，
又∵PG⊥PB，平面GCBP⊥平面PEAB，∴GP⊥PF
∴PE⊥平面PGBC，平面PBC在平面PGBC上，∴PE⊥平面PBC

P

E F H

G
O I
A B

D C

（2）求二面角C—PB——D的余弦
在△DBP中，DB=PD=PB=√8=2√2，
作DH⊥PB于H，则DH=（1/2）√3×2√2=√6=2.449
在Rt⊿POC中，PO=2，CO=√8，∴PC=√12=2√3，
在△PCB中，∵PB=√8，BC=2，PC=√12，∴△PCB是Rt⊿，CB⊥PB，
在平面PBC上作HI⊥PB交PC于I，则HI=BC/2=1，
∴∠DHI是二面角C—PB——D的平面角，连DI，则DI=CI=PI=∠3=1.732
在△DHI中DH=2.449，DI=1.732，HI=1，于是
sinD/1=sinH/1.732=sin（∠HDI+∠DHI）/2.449
解上三角方程得∠DHI=35.3°，∠HDI=19.49°，∠DIH=125.21°，
∴cos∠DHI=cos35.3°=0.8161
∴二面角C—PB——D的余弦为0.8161。

Answer 2

(1)证：过点E做EM//PO，交PO于M，则△PEM为直角三角形，且PM=EM=AE=1/2CD=1
Rt△PEM中，PE²=EM²+PM²=2
Rt△ABE中，BE²=AB²+AE²=(BO+AO)²+AE²=10
Rt△PBO中，PB²=PO²+BO²=8
△PBE中，PE²+PB²=2+8=10=BE²，所以△PBE为RT△,且EP⊥PB
连接CO，CE，AC
Rt△BCO中，CO²=BO²+BC²=8
Rt△PCO中，PC²=PO²+CO²=4+8=12
Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=13
Rt△EAC中，EC²=AE²+AC²=13+1=14
△PCE中，PE²+PC²=2+12=14=CE²，所以△PCE为RT△,且EP⊥PC
所以EP⊥平面PBC
(2)解：连接DO，则DO⊥AB，DO=BC=2，
Rt△PDO中，PD²=PO²+DO²=8, PD=2√2
Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²=8, BD=2√2

△PBC中，PC²=12, BC²=4, PB²=8，所以△PBC为Rt△，且CB⊥PB
补充：上面这句证明有点多，改成∵CB⊥AB，CB⊥PO，所以CB⊥平面POB，所以CB⊥PB，更容易理解一些。

由(1)，PB=2√2，所以△PBD是等腰三角形，边长为2√2

取PB中点M，连接DM，则DM⊥PB，PM=BM=√2，DM=2√2 * sin60°=√6
过M点做MN//BC，交PC于N点，则N是PC中点，MN=BC/2=1，
由于CB⊥PB，所以NM⊥PB，所以∠DMN是平面PBC与PBD的二面角，即所求的二面角
△PCD中，PC²=12, PD²=8, CD²=4，所以△PCD为Rt△，且CD⊥PD

连接DN，则DN为Rt△PCD斜边上的中线，则DN=PC/2=√3
在△DMN中，利用余弦定理：(令∠DMN=α)
DN²=DM²+MN²-2DM * MN * cosα
cosα=(DM²+MN²-DN²)/(2DM*MN)
=(6+1-3)/(2*√6 * 1)
=√6/3