Question

函数的连续性

假设函数F在点x=a上连续，且F(a)>0
利用连续性的定义证明存在一个包含a的开区间I，使得对于任意x属于I，F(x)>0
求详细过程！！

Answer 1

lim<x->a> f(x) = f(a)>0
由极限定义，任意e>0（取e=f(a)/2>0)，存在 d>0
任意x，a-d<x<a+d有， |f(x)-f(a)|<e=f(a)/2
所以 f(x)>f(a)/2>0
(a-d,a+d)即为满足条件的区间

追问

这个e是epsilon吗？然后d是delta吗？

追答

是的，不过这个叫什么无所谓的。

追问

为什么e取f(a)/2?
会采纳您的答案的！

追答

这个随便，只要保证 f(a)-e >0 就可以。

追问

请问如何保证f(a)-e>0呢？
可以由定义推出吗？

Answer 2

一、若知该函数为初等函数,则说明它是初等函数,在其定义区间上均连续；
二、若该函数为一元函数,则可对该函数求导,其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续；
三、实在不行,只好求极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,则连续；
注：左右极限只是求极限的一个部分内容,当函数为分段函数时,分段点处的极限求法必须使用左右极限来求。

追问

有关于这道题的详解吗？感激不尽！