Question

设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值

Answer 1

BD=2p AF=BF=根号2p,设A（x,y）,则y+p/2=根号2×p
因为S=4根号2
所以2p×1/2×根号2×p =4根号2
所以p=2
x*2=4y 圆方程为x*2+(y-1)*2=8
(2)当直线AB斜率大于0时
由题意得AF=BF过A做AE垂直于BD于E，
设BD交y轴于C,
则CF=1/2AD=1/2AF=1/2BF,
所以角B=30°
k=根号3/3
同理，斜率小于0时，可得k=-根号3/3
所以m:y=+-根号3/3x+p/2
由于斜率取正负两个值时情况相同，下面只讨论斜率大于0的情况
设n:y=根号3/3x+b
因为只有一个焦点，所以代入原抛物线方程后判别式等于零
可得b=-p/6
所以原点到两直线距离=p/2除以p/6=3