Question

第20题，求详解过程

Answer 1

f[n](-1)=(-1)^n [n]代表小标n，下同
带入得 -a[1]+a[2]-a[3]+..........+(-1)^n a[n]=(-1)^n （1）

类似有 -a[1]+a[2]-a[3]+..........+(-1)^n a[n]+(-1)^(n+1) a[n+1]=(-1)^(n+1) （2）
两公式相减得 (-1)^(n+1) a[n+1]=(-1)^(n+1)-(-1)^n
a[n+1]=1-(-1)=2
（1）式中令n=1得 -a[1]=-1 a[1]=1
所以通项公式为a[1]=-1 a[n]=2 n≥2时

n=1 时 f[1](1/3)=1/3<1
n=2 时 f[2](1/3)=1/3+2(1/3)²=5/9<1
n≥3时 f[n](x)=x+2(x²+x³+....+x^n)
xf[n](x)=x²+2(x³+x^4+.......+x^n+x^(n+1))
(1-x)f[n](x)=x+x²-2x^(n+1)
将x=1/3带入 得 (2/3)f[n](1/3)=1/3+1/9-2(1/3)^(n+1)=4/9-2/3^(n+1)≤4/9-2/3^3=10/27
f[n](1/3)≤(3/2)(10/27)=5/9<1