Question

一个想不明白的数学问题

两个函数：
y=x+3(x∈｛-1,3｝)
y=x²-x(x∈｛-1,3｝)
究竟是不是一个函数啊？
对应法则不一样，图象一样。。。
麻烦各位好好看看，好像不是那么简单
个人认为是同一个函数
。。
个人认为，对应法则只是表面不一样

请各位仔细看定义域。。。。
定义域啊！！！！
是大括号！！

Answer 1

解：显然，不是同一个函数，如果是同一函数，根据，定义域，值域一致，其反函数也是同一函数。上面，y=x+3 (x∈｛-1,3｝) 有唯一的反函数：y=x-3, ( x∈｛2,6｝)
而，y=x²-x(x∈｛-1,3｝) 有两个反函数：y=1/2+(x+1/4)^(1/2) ( x∈｛2,6｝)
和y=1/2-(x+1/4)^(1/2) ( x∈｛2,6｝) 。y=1/2+(x+1/4)^(1/2) 的值域{2,3}
y=1/2-(x+1/4)^(1/2) 的值域{-1,-2} 这两个反函数没有一个和y=x+3 (x∈｛-1,3｝) 有唯一的反函数：y=x-3, ( x∈｛2,6｝) 相同，这是一个彻头彻尾的迷惑题啊！

追问

根据，定义域，值域一致，其反函数也是同一函数。
为什么？？

追答

根据函数的定义，设在某个变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x所考虑的范围内的每一个数值，都有一个确定的数值y与之对应，则称这个对应规则f为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数，记作y=f(x), x∈D,在讨论两个函数是否为相同的函数时必须严格按照函数的定义去考虑，即：三个要素：1、定义域， 2、值域， 3、对应规则。只有三者都一致，才能判断是同一函数，缺少任何一个条件都将被否决，本例中就是典型的说明：虽然该题中符合1、定义域， 2、值域都是相同的，但对应规则是不相同的，为了说明这个问题才不得不动用了反函数的定义。根据一个函数如果有反函数，它必定是一一对应的函数，y=x+3 (x∈｛-1,3｝) 有唯一的反函数：y=x-3, ( x∈｛2,6｝) 而，y=x²-x(x∈｛-1,3｝) 有两个反函数：y=1/2+(x+1/4)^(1/2) ( x∈｛2,6｝)
和y=1/2-(x+1/4)^(1/2) ( x∈｛2,6｝) 是一个多值函数，故，y=x²-x(x∈｛-1,3｝) 在其定义域和值域内没有反函数。根据一一对应的关系，相同的函数，其反函数也必定相同。所以，上面的两个函数不是相同的函数。

追问

这个题是我自己想的。。。把我自己迷惑了。。。
我觉得，用反函数好像不是那么有说服力。。。（个人观点）
另外，您觉得y=x和y=x的绝对值 （x均大于0）是同一函数吗？
如果这个是，那么上一个也是吧
请您讲解一下

追答

你是很优秀的学者，现在，像你这样肯专研的人为数不多了。应给于肯定！
显然，y=x 和y=x的绝对值 （x均大于0）不是同一函数。
y=x是初等函数，而y=x的绝对值 （x均大于0）不是初等函数

追问

谢谢您的回答。
殊途同归也是对应法则不同！
我从高一就不明白，直到高三。
现在明白了！谢谢！

追答

不用谢，在这个世界上还有很多问题值得研究，有些问题会随着条件的变化而变化，因此，学习中一定要灵活运用！

Answer 2

　　这两个函数都可以写成
　　2 x=-1 ←分段函数
　　6 x=3 （前面应该有个大大括号）
　　因此是同一函数
　　回想下函数的定义，就是对应法则呀
　　这个对应法则是
　　2→-1
　　6→3
定义域相同 值域相同 对应法则也是相同的呀 所以两个函数是相同的

 对应法则回乡下函数的定义

追问

知音啊！

追答

没有最后那行【对应法则回乡下函数的定义】

Answer 3

即使定义域和值域都一样的函数也不一定是同一函数。
能够转化为相同表达式，且定义域相同的函数，才是同一函数。所以不可能 为同一函数。

在高中阶段确定两个函数是否为同一函数时，定义域和值域都相同不一定就是同一函数，对应法则f为关键要素。

Answer 4

判断两个是不是同一个函数，一看定义域是否一样，二看对应法则是否一样！！！！！！！！同济六版高等数学上第一章-函数与极限。同学，你犯了一个错误：我们不能因为两个函数的定义域，值域相同就说是同一个函数。这样想是不对的！！！！所谓对应法则相同，是指函数解析式或表格相同（像有些经过化简后相同的式子）！！！！从形式上看，这两个函数没有差异，都是相同的两个点，但是对应法则不同，我们不能因为值域相同来断定两个属于一个函数！！！！！！！！！
数学就是这样，你先冷静一下，在想一想你为什么会说他们对应法则相同呢，因为你看到他们定义域值域相同！！！！！！！相信我，没有错的。

追问

函数解析式或表格相同
您的原话
或！已经是表格相同了。。。

追答

我真不知道你是怎么想的，表格是题目给的，不是吧，是你根据题目画出来的吧！因为函数有三种表现形式：集合 图表 解析式 。我说的表格相同是函数采用表格形式。其实吧，问题出来的时候一定冷静，好好揣摩，数学学得最拔尖的一定不是问的最多的，而是想的最多的！！！！！！！

追问

您用不着打这么多感叹号吧。。。
我平时是只想不问的。。就问了这么一个，招来这么多反对。。
这个对应法则是
2→-1
6→3
一样啊。
麻烦您帮我指点迷津

Answer 5

按课本上区分两个函数是不是同一个函数的条件，应该说不是；因为对应法则不同。但是，从函数定义看，应该是同一个函数。抱歉！收回前面的回答。当才仔细考虑了一下，这两个确实是同一个函数。

Answer 6

个人认为是同一个函数