Question

设椭圆M:x^2/a^2+y^2/8=1(a＞2√2)的右焦点为F1,直线l

设椭圆M:x^2/a^2+y^2/8=1(a＞2√2)的右焦点为F1,直线l：x=a^2/√a^2-8与X轴交于点A,若向量OF1+向量2AF1=向量0(其中O为坐标原点)问题：①求椭圆M的方程②设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x^2+(y－2)^2=1的任一条直径，求向量PE乘于向量PF的最大值

Answer 1

右焦点为F1（c,0),其中c=√(a^-8),
A(a^/c,0),
向量OF1+向量2AF1=(c,0)+2(c-a^/c,0)=(3c-2a^/c,0)=(0,0),
∴2a^=3c^=3(a^-8),a^=24.
∴椭圆M的方程是x^/24+y^/8=1.
②设P(2√6cosu,2√2sinu),E(cosv,2+sinv),F(-cosv,2-sinv),则
向量PE*PF=(2√6cosu-cosv)(2√6cosu+cosv)+[2√2sinu-(2+sinv)][2√2sinu-(2-sinv)]
=24cos^u-cos^v+(2√2sinu-2)^-sin^v
=24-1+4-16sin^u-8√2sinu
=29-16(sinu-√2/4）^,
它的最大值=29.