Question

求图中的题的解答方法

Answer 1

求f(x，y)=x³+4x²-y²+2xy-10的极值
解：令∂f/∂x=3x²+2y=0...........①; ∂f/∂y=-2y+2x=0...........②
由①②联立解得驻点：M₁(0，0)；M₂(-2/3，-2/3)；
对驻点求二阶偏导数：
M₁(0，0): A=∂²f/∂x²=(6x+2)=2>0；B=∂²f/∂x∂y=2；C=∂²f/∂y²=-2；
故B²-AC=4+4=8>0，故M₁不是极值点。
M₂(-2/3，-2/3)：A=-2<0；B=2；C=-2；故B²-AC=4-4=0，不能确定M₂是否为极值点。
在M₁的附近找两个点试一下：
f(-2/3，-2/3)=-8/27+16/9-4/9+8/9-10=-38/27;
f(-1/3，-1/3)=-1/27+4/9-4/9-2/9-10=-97/27<-38/27;
f(-1，-1）=-1+4-1+2-10=-4<-38/27;
故可判断M₂是极大点，f(x，y)的极大值=-38/27.