Question

已知二次函数y=ax2+bx+c。

.1若a>b>c，且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点
2.若对X1，X2∈R且X1＞X2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=1/2【f（x1）+f（x2）】有两个不等实根，证明必有一实根属于（X1，X2）

Answer 1

　　(1) 由f（1）=0得a+b+c=0 b=-a-c ax2+bx+c=0 由b^2-4ac=a^2+c^2+2ac-4ac=(a-c)^2
　　 因a>b>c，所以b^2-4ac=a^2+c^2+2ac-4ac=(a-c)^2>0 即f（x）必有两个零点
（2）假设a>0
　　 1* 当x2<x1<-(b/2a) 由f（x1）≠f（x2），方程f（x）=1/2【f（x1）+f（x2）】得f(x)为
　　 f(x1),f(x2)的中点，即f(x2)>f（x）>f(x1),而此时x1,x,x2在函数单调递减区间，所 以有
　　 x1>x>x2即有一实根属于（X1，X2）
　　 2*当x2<-b/2a<x1且f(x1)>f(x2) 因f(x2)=f(-b/a- 2X2),f(x)为 f(x1),f(x2)的中点，即f(x2)=f(-b/a- 2X2)<f（x）<f(x1),而此时x1,x,-b/a- 2X2在函数单调递增区间，所以 x1>x>(-b/a- 2X2=x2即有一实根属于（X1，X2）或者f(x1)=f(-b/a-2x1),则f(x1)=f(-b/a-2x1)>f(x)>f(x2),而此时x1=(-b/a-2x1),x,x2在函数单调递减区间所以x1=(-b/a-2x1)>x>x2,即有一实根属于（X1，X2）
　　 3*当-b/a<x2<x1,由f（x1）≠f（x2），方程f（x）=1/2【f（x1）+f（x2）】得f(x)为f(x1),f(x2)的中点,即f(x1)>f（x）>f(x2),而此时x1,x,x2在函数单调递增区间。有x1>x>x2,即有一实根属于（X1，X2）
　　 （3）当a<0同上。
　　综上所述，若对X1，X2∈R且X1＞X2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=1/2【f（x1）+f（x2）】有两个不等实根，证明必有一实根属于（X1，X2）