Question

x^2-x+1=(x^2+x+1)(x^2+2x+4)解方程，因式分解的流程。

Answer 1

x²-x+1=(x²+x+1)(x²+2x+4)解方程

解：将右端展开，合并同类项得：
x²-x+1=x⁴+3x³+7x²+6x+4
于是得x⁴+3x³+6x²+7x+3=0
不难看出此方程有一个x=-1的实根，因此可用配方法降一次幂；降幂后又发现还有一个x=-1的实根
x⁴+3x³+6x²+7x+3=x³(x+1)+2x²(x+1)+4x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x³+2x²+4x+3)
=(x+1)[x²(x+1)+x(x+1)+3(x+1)]=(x+1)²(x²+x+3)=0
故得x₁=-1；x₂=(-1+i√11)/2；x₃=(-1-i√11)/2.
即有一对重根-1和一对共轭虚根。

Answer 2

解： x^2-x+1=(x^2+x+1)(x^2+2x+4)
　　（x^2+x+1)(x^2+2x+1+3)-x^2+x-1=0
　　 (x^2+x+1)[(x+1)^2+3]-x^2+x-1=0
(x^2+x+1)(x+1)^2+3(x^2+x+1)-x^2+x-1=0
(x^2+x+1)(x+1)^2+3x^2+3x+3-x^2+x-1=0
(x^2+x+1)(x+1)^2+2x^2+4x+2=0
(x^2+x+1)(x+1)^2+2(x^2+2x+1)=0
(x^2+x+1)(x+1)^2+2(x+1)^2=0
(x+1)^2(x^2+x+1+2)=0
(x+1)^2(x^2+x+3)=0
(x+1)^2(x^2+x+0.5^2+2.75)=0
(x+1)^2[(x+0.5)^2+2.75]=0
我们知道两式积为0，只要有一个因数为0即可
又因为(x+0.5)^2为非负数，所以(x+0.5)^2+2.75>0
所以只有(x+1)^2=0，才能使等式成立
因为(x+1)^2是非负数，所以x+1=0，所以x=-1