Question

请高手帮忙解答一道关于高二导数的数学题

求函数y=x^(3/2)+(1-x)^(3/2) 的最小值
两个数都是二分之三次方

Answer 1

y'=3/2x^(1/2)-3/2x^(1/2)
=3/2{1/x^2-1/(1-x)^2}
=3/2((1-x)^2-x^2/x^2(1-x)^2
若y'=0，则（1-x)^2-x^2=0
即1-2x=0,得y在（负无穷，1/2)单调增。在（1/2），正无穷）单调减
带入x=1/2得y=根号1/2

不知道过程有没有错

Answer 2

为二分之根号二。

由原题，x有取值范围。x^(3/2),所以x^3>0，x＞0。同理，1-x＞0，x＜1。

求导，y'=2/3[x^(1/2)-(1-x)^(1/2)],分子有理化得2/3[(2x-1)/(x^(1/2)+x^(1/2)],

所以x=1/2时原函数有最小值，为二分之根号二。

Answer 3

首先求导得到：
y‘=x^(1/2)-(1-x)^(1/2),y’=0时，x=1/2，则当x>1/2时y‘>0,y递增，x<1/2时y’<0，y递减，则x=1/2时y=min=0

Answer 4

y‘(x)=3/2x∧1/2+3/2(1-x)∧1/2=3/2<√x-√(1-x)>
所以0≤x≤1,当0≤x＜1/2时，y‘＜0，函数减
当1/2≤x≤1时,y‘≥0，函数增
所以y最小=y(1/2)=√2/2