Question

已知函数f（x）=alnx x+1 +b x ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0． （Ⅰ）求a、b的

已知函数f（x）=alnx
x+1
+
b
x
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
lnx
x-1 ．
1111111就把你就会比较好不过还不

Answer 1

：（Ⅰ）f′(x)=
a(1-x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=-
a2=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(
m2+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0​(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0​，∴-
373＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜
lnnn＜
n-1n
∴ln22•
ln33•
ln44••
lnnn＜
12•
23•
34••
n-1n=
1n(n≥2，n∈N*)