Question

初二几何题，请对第三小题做着重解答

如图，在△ABC中，∠ACB=90°∠A=30°,D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB,垂足为点E，M是BD的中点
(1)求证：CM=EM
(2)如果BC=31／2设AD=x,CM=y,求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域
(3)当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小，如果发生变化，说明如何变化

Answer 1

解：当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小不发生变化，
∠MCE=30°；
因为CM=BM，可得 ∠MBC=∠MCB，
BM=EM，可得∠MBE=∠MEB，
因为∠ACB=90° ，∠A=30°，所以，∠ABC=60°
因为∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°
∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD
所以∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°，
因为CM=EM，
所以∠MCE=∠MEC=30°。
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，BC＝√3，
∴tanA=tan30°=√3/3=BC/AC，
∴AC＝3，
∵CD＝AC－AD＝3－x。
∴BD＝√（BC²＋CD²）
＝√[3＋（3－x）²]
＝√（x²－6x＋12）；
又∵M是BD中点，
∴CM＝½BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半），
∵AD=X，CM=y，
∴y＝½√（x²－6x＋12）；
∵点D不与点A、点C重合，
∴0＜AD＜3，即0＜x＜3；
∴y 与X的函数解析式是：
y＝½√（x²－6x＋12）；
∴函数的定义域是：0＜x＜3。解：当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小不发生变化，
∠MCE=30°；
因为CM=BM，可得 ∠MBC=∠MCB，
BM=EM，可得∠MBE=∠MEB，
因为∠ACB=90° ，∠A=30°，所以，∠ABC=60°
因为∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°
∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD
所以∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°，
因为CM=EM，
所以∠MCE=∠MEC=30°。

Answer 2

1，M是BD的中点，又三角形BDC 和三角形BDE都是直角三角形。
所以CM=MD ME=MD 从而CM=EM
2,在直角三角形ABC 中角A＝30 BC=31/2
所以AB=2BC=31 AC=31根号3 /2
在直角三角形BDC中 CM=MD=BM=y BC=31/2
CD=根号(BD^2-BC^2)=根号(4y^2-(31/2)^2)
AD=AC-CD=31根号3 /2-根号(4y^2-(31/2)^2) =x(不化简了）
x的取值范围为(0,31根号3 /2)
3,角MCE的大小是不变化的
因为不论D在何处 角CME总是＝2角CBA＝120
又CM=ME 所以角MCE=角MEC ＝（180－120)/2=30

Answer 3

(1)∵∠ACB=90°，M是BD的中点，∴在直角△ABC中，BM=CM=MD，∵DE⊥AB，∴在直角△BED中，BM=EM=MD，∴CM=EM；
(2)∵BC=31／2，∠A=30°，∴AB=31，在△ABD中由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2ABADcos∠A，BD=2CM=2y，则4y²=961+x²-31√3x，函数的定义域(0<x<31√3/2),(31/4<y<31/2)；
(3)∵B、C、D、E四点共圆，∴∠B+∠CDE=180°，∠CDE=120°，M为圆心，∠BME/2=∠BDE，∠BMC/2=∠BDC，以上两式相加得：∠BME/2+∠BMC/2=∠BDE+∠BDC=∠CDE=120°，则：∠BME+∠BMC=240°，∠CME=360°-(∠BME+∠BMC)=120°，∵△CME为等腰△，∴∠MCE=30°。

Answer 4

(3)当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小不会发生变化。
∵∠ACB=∠DEB=90°，∴C、D、E、B四点同在以BD为直径的圆周上，M是圆心，
∠ECD=∠EBD，∠MDC=∠EBD+∠A；∠MCD=∠MCE+∠ECD，
∵MC=MD，∠MDC=∠MCD，∴∠MCE=∠MCD-∠ECD=∠MDC-∠EBD=∠A=30° .。