Question

设函数)(xf=x+ax2+blnx，曲线y=)(xf过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2

求a，b的值； 证明：f（x）≤2x-2。

Answer 1

(1)∵曲线y=f(x)=x+ax²+blnx,过P（1,0）
f'（x）=1+2ax+b/x
∴0=1+a,

2=1+2a+b
∴a=-1,b=3

(2)由（1）得
y=f(x)=x-x²+3lnx (x>0)

设F（x）=f(x)-（2x-2）＝-x²-x+2+3lnx
F'（x）＝-2x-1+3/x=-(2x+3)(x-1)/x>0

=>-3/2<x<1即0<x<1
F'（x）<0=>x>1

∴F（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为(1,+∞)

∴F（x）的最大值为F（1）＝-1-1+2＝0

∴F（x）≤0

即：f（x）≤2x-2。

Answer 2

1）曲线y=f(x)过点P(1,0)表示f(1)=0，即1+a+0=0，可以求出a=-1。
在P点处切线斜率为2，意思是f'(x)也就是f(x)的导数在x=1时值为2。
有 f'(x) = 1+2ax+b/x。
当x=1时，f'(1)=1+2a+b=1-2+b=2，因此有b=3。
2）由（1）可得，f(x)=x-x2+3lnx，设 g(x) = f(x)-(2x-2) = -x2-x+2+3lnx
因此g'(x) = -2x-1+3/x = -(2x+3)(x-1)/x。
由于f(x)中含有lnx，因此f(x)与g(x)的定义域都是(0,+∞)。
可以求出g'(x)在0<x<1时大于0，在x>1时小于0。
根据导数性质，g(x)在(0,1]内是单调递增的，而在(1,+∞)内是单调递减的。
因此g(x)的最大值只可能出现在1的位置。
求出 g(1) = f(1) - 2 + 2 = 0，也就是g(x)≤0 总成立，即f(x)≤2x-2