Question

在三角形ABC中，已知向量AB乘以向量AC=3向量BA乘以向量BC。

（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=根号5分之5（分母没有根号），求A的值。（两问都要过程，谢谢）

Answer 1

过程省去向量2字。这几天事较多，没太细想，第二问肯定不会这么麻烦
先将就着看，有问题再探讨。
1
AB dot AC=|AB|*|AC|*cosA，3BA dot BC=3|BA|*|BC|*cosB
故：|AB|*|AC|*cosA=3|BA|*|BC|*cosB，即：(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=3cosB/cosA
又：(1/2)*|AB|*|AC|*sinA=(1/2)*|BA|*|BC|*sinB
故：(|AB|*|AC|)/(|BA|*|BC|)=sinB/sinA
所以：3cosB/cosA=sinB/sinA，即：3inA/cosA=sinB/cosB，即tanB=3tanA，证毕。
2
cosC写错了吧，是cosC=sqrt(5)/5吧？cosC<1/2，故：π/3<C<π/2
而：A+B=π-C，故：π/2<A+B<2π/3
sinC=sin(A+B)=2/sqrt(5)，即：sinAcosB+cosAsinB=2/sqrt(5)
而：3sinAcosB=cosAsinB，故：4sinAcosB=2/sqrt(5)，即：sinAcosB=sqrt(5)/10
而：cos2B=(1-tanB^2)/(1+tanB^2)=(1-9tanA^2)/(1+9tanA^2)=2cosB^2-1
所以：cosB^2=1/(1+9tanA^2)，所以：sinA^2/(1+9tanA^2)=1/20
而：2sinA^2=1-cos2A=1-(1-tanA^2)/(1+tanA^2)=2tanA^2/(1+tanA^2)
故：2tanA^2/(1+tanA^2)(1+9tanA^2)=1/10，即：9tanA^4-10tanA2+1=0
即：(tanA^2-1)(9tanA^2-1)=0，故：tanA^2=1或tanA^2=1/9
故：tanA=1或-1或1/3或-1/3，-1和1/3和-1/3不合题意，舍去
故A=π/4