Question

设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，都有Sn=2(an－1)，记f(n)=(3^n)/[(2^n)×Sn]

证明：f(1)+f(2)+…+f(2n－1)≥(2n－1)×f(n)

Answer 1

对任意n∈N*，都有Sn=2(an－1)，①
n=1时a1=2(a1-1),a1=2.
n>1时S<n-1>=2(a<n-1>-1),②
①-②，an=2an-2a<n-1>,
an=2a<n-1>,
∴an=2^n.
∴f(n)=（3/4）^n,
f(k)+f(2n-k)
=(3/4)^k+(3/4)^(2n-k)
>=2[(3/4)^(k+2n-k)]^0.5
=2*(3/4)^n
=2f(n),k=1,2,……，n,
累加得f(1)+f(2)+…+f(2n－1)≥(2n－1)×f(n)