Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
若函数f(x)的图像在点（2，f（2））的切线的倾斜角为45°，问：m在什么取值范围时，对任意t∈[1,2],函数g(x)=x^3+x^2[m/2+f'(x)]在区间（t，3）上总存在极值

Answer 1

由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得，f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2，则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x,g'(x)=3x^2+(4+m)x-2,题中说函数不单调，也就是说在(t,3)范围内，g'(x)=0有解，因为g'(0)=-2<0,所以当且仅当g'(t)<0且g'(3)>0时方程有解，3t^2+(4+m)t-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0,解之得-37/3<m<2/t-3t-4,又因为t∈[1,2],所以-37/3<m<－9

Answer 2

f'(x)=a/x-a=a(1/x-1)
定义域x>0
所以0<x<1,1/x-1>0
x>1,1/x-1<0

所以
a>0,则0<x<1,f'(x)>0,增函数
x>1,f'(x)<0,减函数

a<0,则x>1,f'(x)>0,增函数
0<x<1,f'(x)<0,减函数

综上
a>0,增区间(0,1),减区间(1,+∞)
a<0,增区间(1,+∞),减区间(0,1)
(II)
由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得，f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2，
则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x,
g'(x)=3x^2+(4+m)x-2,题中说函数有极值，也就是说在(2,3)范围内，g'(x)=0有解，因为g'(0)=-2<0,所以当且仅当g'(2)<0且g'(3)>0时方程有解，3*2^2+(4+m)*2-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0,解之得-37/3<m<-9,
所以-37/3<m<－9