Question

已知函数f(x)=4x^3-3x^2sinθ+1/32,其中x∈R，θ为参数，且0≤θ＜π.

（1）当θ=0时，判断函数f(x)是否有极值，说明理由（2）要使函数f(x)的极小值大于0，求参数θ的取值范围（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间（2a-1.a）内都是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1）
f(x)=4x³—3x²sinθ+1/32
求导：f片x=12x²-6xsinθ
12x²-6xsinθ>0时，解x>sinθ/2或x<0
12x²-6xsinθ<0时，解 0 <x<sinθ/2
∴f（x）在（-∞，0]或[sinθ/2，+∞)上单调递增，在（0，sinθ/2）上单调递减；
∴在x=sinθ/2时取极小值：f（sinθ/2）=4*（sinθ/2）³-3（sinθ/2）²sinθ+1/32=sin³θ/8 +1/32
使得极小值大于0，即：-sin³θ/4 +1/32>0
解：sinθ<1/2
又θ∈[0,π]
∴θ取值范围为：[0,π/6]U[5π/6,π]
2)
由1）知f（x）在（-∞，0]或[sinθ/2，+∞)上单调递增，使得f（x）在（2a-1，a）内部都是增函数，要求（2a-1，a）必须是在增区间（-∞，0]或[sinθ/2，+∞)内，
即满足：
2a-1<a《0或a>2a-1》sinθ/2《（sinπ/6）/2=1/4恒成立；
即：2a-1<a《0或a>2a-1》1/4
解：a《0或5/8《a<1

Answer 2

1当θ=0时f(x)=4x^3+1/32显然该函数是单增函数（求导恒大于零）没有极值。
2对函数进行求道，f(x)’=12x^2-6xsinθ f(x)‘’=24x-6sinθ当x>4，0≤θ＜π.时f(x)‘’恒大于零，