Question

已知:a、b、c是实数，二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f((a-b-c)/2a)=0，求证:-1与1至少有一个是f(x)=0的根。

Answer 1

求证-1与1至少有一个是f(x)=0的根，等价于证明f(-1)*f(1)=0;
即（a+b+c）*(a-b+c)=0;
我们先从原式进行化解，尝试求出这个结果，
f((a-b-c)/2a)=a*((a-b-c)/2a)^2+b*((a-b-c)/2a)+c;
先化简前两项，上式=((a-b-c)/2a)*（(a-b-c)/2+b）+c=((a-b-c)/2a)*((a+b-c)/2)+c
=((a-c)^2-b^2)/4a + c=((a+c)^2-b^2)/4a=0;
因为4a不能等于0，所以(a+c)^2-b^2=0；
即（a+b+c）*(a-b+c)=0;
得出了我们想求得结果。