Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试探索OE与OF之间的数量关系．
(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是请说明理由
（3）当点O远动到何处时，切△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

解：（1）因为CM是角BCA的平分线，所以角BCM=角OCM=角OEC,所以OE=OC,
同理OF=OC,所以OE=OF.
(2)证明：不会 因为MN平行BD，所以角OFC=角OCF，所以角BCF不可能等于角OFC,所以不可能是菱形。
（3）点O运动到终点时，角ACB=90°时，四边形AECF是正方形。
因为AO=OC,OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形，因为角BCM=角OCM=角OEC，角ACB=90°，所以角BCM=角OCM=角OEC=45°，所以OE=OC,AC=EF,所以四边形AECF是长方形，又因为角MCF=90°，所以四边形AECF是正方形。
谁采纳了，记得要顶哦！！谢谢你们啊
（过程简写）

Answer 2

解：OE=OF．
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
2、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形
证明：
∵O是AC的中点
∴AO＝CO
∵OE＝OF
∴平行四边形AECF
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠ACB/2
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠ACD/2
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90
∴矩形AECF
3、△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD＝90
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB/2＝45
∵CF平分∠ACD
∴∠DCF＝∠ACD/2＝45
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45
∴∠OEC＝∠OFC
∴CE＝CF
∵矩形AECF
∴正方形AECF