Question

如图 建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米 某炮位于坐标原点

已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1/20)(1+k^2)(x^2) (k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程 ；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由

Answer 1

解：（1）在 y=kx-(1/20)(1+k^2)(x^2) (k＞0)中，令y=0，得kx-(1/20)(1+k^2)(x^2)=0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=20k/（1+k²）=20/（1/k+k）≤20/2=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．

（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-1/20（1+k2）a2=3.2成立，
即关于 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．
由△=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6．
此时，k=（20a±根号△）/2a²＞0（不考虑另一根）．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

Answer 2

解：（1）在 y=kx-(1/20)(1+k^2)(x^2) (k＞0)中，令y=0，得kx-(1/20)(1+k^2)(x^2)=0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=20k/（1+k²）=20/（1/k+k）≤20/2=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．

（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-1/20（1+k2）a2=3.2成立，
即关于 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．
由△=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6．
此时，k=（20a±根号△）/2a²＞0（不考虑另一根）．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．