Question

抛物线y=ax2-3/2x-2(a≠0)图像与x轴交于A,B两点,y轴交于C点,B坐标为(4,0).

（1）求抛物线解析式
（2）试探究三角形ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标
（3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求三角形MBC的面积的最大值，并求出此时的M点的坐标
详细过程+图示

Answer 1

解答：

1、将B点坐标代入解析式得：

a=½，

∴抛物线解析式为：

y=½x²－﹙3／2﹚x－2

2、由抛物线解析式得到：

A、C点坐标为A﹙－1，0﹚、C﹙0，－2﹚.。
对称轴x=3／2，
由BC两点坐标可以求得BC直线方程为：

y=½x－2
还可以求得：BC中点D的坐标为D﹙2，－1﹚
设圆心Q点一定在BC的中垂线上，也一定在抛物线对称轴上，

∴QD的直线方程可以设为：

y=－2x＋b
将D点坐标代入直线解析式得：

b=3

∴QD的直线方程为：y=－2x＋3
将x=3／2代入解析式得：y=0

∴圆心坐标为Q﹙3／2，0﹚.。

3、过M点作MP∥BC，且与抛物线相切﹙与抛物线只有一个交点﹚，
则这时候的△MBC的面积最大。
设M点坐标为M﹙m，n﹚，MP的直线方程可以设为：

y=½x＋p
将M点坐标代入得：①n=½m＋p
将M点坐标代入抛物线解析式得：

②n=½m²－﹙3／2﹚m－2
将①代入②化简得：

m²－4m－4－p=0

∴由Δ=﹙－4﹚²－4﹙－4－p﹚=0

∴p=－8

∴m²－4m＋4=0

∴m=2

∴n=－3

∴M点坐标为M﹙2，－3﹚时△MBC的面积最大。