Question

已知正数x,y满足(1+x)(1+2y)=2，则4xy+1/xy的最小值是

Answer 1

由(1+x)(1+2y)=2有：x+2y+2xy=1 由均值不等式，x+2y>=2根号（2xy）等号当x=2y时成立
故有：2根号（2xy）+2xy<=1
设t=根号（2xy）,上面不等式即：t^2+2t-1<=0,t>0
解得：0<t<=（根号2）-1
故0<xy<=(3-2*根号2)/2，其中当x=2y时等号成立，xy有最大值为(3-2*根号2)/2。
设m=xy则4xy+1/xy=4m+1/m=f(m)
f(m)在(0,1/2)递减，（1/2，+无穷）递增。由上知，0<xy<=(3-2*根号2)/2，即：0<m<=(3-2*根号2)/2
故f(m)递减，故当xy=m=(3-2*根号2)/2，即x=2y=根号2-1时，f(m)有最小值为12.