Question

弧长的曲线积分计算法，图中最后一步怎么得来的？

Answer 1

这是根据弧微分得来的，设x=φ(t)，y=ψ(t)，则弧微分(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2，而dx=φ'(t)dt，dy=ψ'(t)dt，所以ds=根号[φ'(t)^2(dt)^2+ψ'(t)^2(dt)^2]=[φ'(t)^2+ψ'(t)^2]^(1/2)*dt，两边积分就得到Δs的表达式。

追问

已经得到了ds=[φ'(t)^2+ψ'(t)^2]^(1/2)*dt,为什么还要在两边积分呢？ ∫ds这成了什么

追答

ds可以认为是无穷小量，只有积分后才能得到一段弧长Δs=∫ds，为后面使用积分中值定理做准备。