Question

已知函数f（x）=a^x-2√(4-a^x)-1（a＞0且a≠1） 1.求函数f（x）的定义域、值域 2.求实数

已知函数f（x）=a^x-2√(4-a^x)-1（a＞0且a≠1）
1.求函数f（x）的定义域、值域
2.求实数a的取值范围，使得函数f(x)满足：当定义域为[1,+∞)时，f(x)≥0恒成立

Answer 1

(1) 4 - a^x ≥ 0
a^x ≤ 4
当 0<a<1时，x ≥ loga (4)
当a>1时，x ≤ loga (4)
令t= √(4 - a^x) ，a^x = 4 - t²
a^x >0
0 ≤ 4 - a^x < 4
0 ≤ t < 2
f(x) = 4 - t² - 2t - 1
= - (t+1)² +4
∈( - 5，3 ]

(2)(2) 定义域为(2,+∞)
∴0<a<1
x > 2
0 < a^x < a²
4 - a² < 4 - a^x < 4
√(4 - a²) < t < 2
f(x) = 4 - t² - 2t - 1
= - (t+1)² + 4
在 t∈（√(4-a²)，2）单调递减
f(x) > - (2+1)² + 4 = - 5
f(x) ≥ 0 不恒成立
我想题目是不是 f(x) ≤ 0 恒成立
那么 f(x) < a² - 2√(4 - a²) - 1 ≤ 0
即 a² - 1 ≤ 2√(4 - a²)
∵0<a<1 ，0<a²<1，a² - 1 < 0
∴上式显然成立
故 a∈(0,1)

望采纳~

追问

你是说这题错了吗

追答

没 第二个问题你可以忽略我的答案

追问

什么意思，答案第二问求出来了，我没看懂

追答

意思就是第二问没法做,只能做出当定义域为[2,+∞)时

追问

而且改为f(x) ≤ 0才能解出数来吗

追答

当x∈[1,＋∞）时，√(4-a^x)要有意义，则a＜1。
令t＝√(4-a^x)，则t≥0，且f(x)＝4－t^2－2t－1＝4－(t+1)^2
由f(x)≥0得0≤t≤1。又t＝√（4-a^x)，所以3≤a^x≤4
“当x∈[1,＋∞）时，3≤a^x≤4恒成立”是不可能成立的，因为a^x是单调减少的，此时a^x的取值范围是(0,a]。

当然了 你可以直接回答不存在 然后把这个原因写上去 至于最开始回答的第二问a∈(0,1)的那个你忽略吧

追问

问你这么多，真不好意思，一会我选你为满意回答时给你追加20分
可我还是想再问一下：
如果条件是x∈[1,＋∞），但求的是f(x)≤0，是不是答案也是a∈(0,1)啊
我是这样算的：
0<a＜1
4－t^2－2t－1≤0
且t∈[0,2)
解得1≤t＜2即√（4-a^x)≥1
a<3
所以综上0<a＜1
我算的对吗

追答

应该a∈[0,1） a=0也可以的